Théorème des gendarmes

Dans cette perle,  $\alpha$ désigne $-\mathrm{\infty }$ ,  $+\mathrm{\infty }$  ou un réel.

Théorème des gendarmes

Soit  $f$ , $g$  et $h$  trois fonctions telles que :

• $f(x)⩽g(x)⩽h(x)$  au voisinage de  $\alpha$ ;
  
• il existe  $\ell \in \mathbb{R}$ tel que  $\underset{x\to \alpha }{lim}f(x)=\ell$ et  $\underset{x\to \alpha }{lim}h(x)=\ell$  ; 
  

alors  $\underset{x\to \alpha }{lim}g(x)=\ell$ .

Énoncé

Déterminer la limite suivante :  $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{\sin (x^2)}{x}})$ .

Solution

Pour tout réel $x,-1⩽\sin (x^2)⩽1$ .
Pour tout réel $x>0,-{\displaystyle \frac{1}{x}⩽{\displaystyle \frac{\sin (x^2)}{x}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}}}$ .
Enfin, pour tout réel $x>0,1-{\displaystyle \frac{1}{x}⩽1+{\displaystyle \frac{\sin (x^2)}{x}⩽1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}$ .
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1-{\displaystyle \frac{1}{x}})=1$  et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})=1$  donc, d'après le théorème des gendarmes, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{\sin (x^2)}{x}})=1$ .

Remarque

D'après le résultat précédent, la courbe représentative de la fonction $f$  définie sur $[1;+\mathrm{\infty }[$  par $f(x)=1+{\displaystyle \frac{\sin (x^2)}{x}}$  admet une asymptote horizontale d'équation $y=1$  au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ .